Totuustaulukko

Mikä on totuuden taulukko:

Totuustaulukko tai totuustaulukko on matemaattinen työkalu, jota käytetään laajasti loogisen päättelyn alalla. Sen tarkoituksena on tarkistaa yhdistelmäesityksen looginen pätevyys (argumentti, joka muodostuu kahdesta tai useammasta yksinkertaisesta ehdotuksesta).

Esimerkkejä yhdistelmäesityksistä:

  • Johannes on pitkä ja Maria on lyhyt.
  • Pedro on pitkä tai Joana on blondi.
  • Jos Pedro on pitkä, Joana on punainen.

Kukin edellä esitetty ehdotus muodostuu kahdesta yksinkertaisesta ehdotuksesta, joita liitännät liittävät lihavoituina. Jokainen yksinkertainen ehdotus voi olla joko tosi tai väärä, ja tämä merkitsee suoraan yhdistelmäesityksen loogista arvoa. Jos hyväksymme lause " John on korkea ja Mary on matala ", tämän lausunnon mahdolliset arviot ovat:

  • Jos Johannes on pitkä ja Maria on matala, lause "Johannes on pitkä ja Mary on matala" on TOSI.
  • Jos John on pitkä ja Mary ei ole alhainen, lause "John on pitkä ja Mary on matala" on FALSE.
  • Jos John ei ole pitkä ja Mary on matala, lause "John on pitkä ja Mary on matala" on FALSE.
  • Jos John ei ole pitkä ja Mary ei ole alhainen, lause "John on pitkä ja Mary on matala" on FALSE.

Totuustaulukko kuvaa tätä samaa päättelyä (ks. Alla oleva aihe) suoraan. Lisäksi totuustaulukon sääntöjä voidaan soveltaa lauseessa olevien ehdotusten lukumäärästä riippumatta .

Miten se toimii?

Käännä ensin kysymyksen ehdotukset logiikassa käytetyiksi symboleiksi. Yleisesti käytetty symboliluettelo on:

symboliLooginen toimintamerkitysesimerkki
p.Ehdotus 1p = John on pitkä.
q.Ehdotus 2q = Mary on matala.
~kieltäminenälä teeJos John on pitkä, " ~ p " on FALSE.
^yhdessäjap ^ q = John on korkea ja Mary on matala.
vdisjunktiotaip v q = John on korkea tai Mary on matala.
ehdollinenjos onp q = Jos John on pitkä, Mary on matala.
Biconditionaljos ja vain josp q = John on korkea, jos ja vain jos Mary on matala.

Seuraavaksi esitetään taulukko, jossa on kaikki mahdolliset yhdistelmäehdotusarvioinnin mahdollisuudet, korvaamalla merkinnät symboleilla. On syytä selventää, että tapauksissa, joissa on enemmän kuin kaksi ehdotusta, niitä voidaan symboloida kirjaimilla r, s ja niin edelleen.

Lopuksi esitetään looginen operaatio, joka on määritelty esitetyllä sidoksella. Yllä olevan luettelon mukaan nämä toiminnot voivat olla: kieltäminen, yhdistäminen, disjunktio, ehdollinen ja kaksoissuuntainen.

kieltäminen

Kieltämistä symboloi ~. Epäilyn looginen toiminta on yksinkertaisin ja usein hylkää totuustaulukon käytön. Saman esimerkin jälkeen, jos John on pitkä (p) sanomaan, että John ei ole pitkä (~ p) on FALSE, ja päinvastoin.

yhdessä

Yhdistelmää symboloi ^ . Esimerkiksi "John on korkea ja Mary on matala" symboloi "p ^ q" ja totuustaulukko on:

Yhdistelmä ehdottaa ajatusta kertymisestä, joten jos jokin yksinkertaisista ehdotuksista on väärä, yhdistelmäehdotus on mahdotonta olla totta.

Johtopäätös : yhdistävät yhdistelmäesitykset (jotka sisältävät sidekappaleen e ) ovat totta vain, kun kaikki niiden elementit ovat totta.

Esimerkki:

  • Paulo, Renato ja Tulio ovat ystävällisiä ja Caroline on hauska. - Jos Paulo, Renato tai Tulio eivät ole ystävällisiä tai Carolina ei ole hauska, ehdotus on FALSE. On välttämätöntä, että kaikki tiedot ovat totta, jotta yhdistelmäehdotus on TOSI.

disjunktio

Disjunktiota symboloi v . Yhdisteen vaihtaminen edellä olevasta esimerkistä tai "John on korkea tai Mary on matala". Tällöin lausetta symboloi "p v q" ja totuustaulukko on:

Disjunktio merkitsee ajatusta vuorottelusta, joten riittää, että yksi yksinkertaisista ehdotuksista on totta niin, että yhdiste on myös.

Johtopäätös : disjunktiiviset komposiittisovellukset (jotka sisältävät tai liittävät) ovat vain vääriä, kun kaikki niiden elementit ovat väärät.

Esimerkki:

  • Äitini, isäni tai setäni antaa minulle lahjan. - Jotta lausunto olisi TOSI, riittää, että vain yksi äidin, isän tai setän välillä antaa läsnäolon. Ehdotus on vain FALSE, jos yksikään niistä ei anna sitä.

ehdollinen

Ehdollisuutta symboloi →. Yhdistäjät itse ilmaisevat sen ja sitten yhdistävät yksinkertaiset ehdotukset kausaaliseen suhteeseen. Esimerkki "Jos Paulo on Carioca, niin hän on brasilialainen" tulee "p q" ja totuustaulukko on:

Ehdollistuksilla on yksi edeltävä ja yksi johdannainen, jonka sideaine erottaa toisistaan. Ehtojen analysoinnissa on tarpeen arvioida tapaukset, joissa ehdotus voi olla mahdollista, ottaen huomioon edellisen ja seuraavan välisen vaikutuksen suhde.

Johtopäätös : Ehdolliset yhdistelmäesitykset (jotka sisältävät yhteydet, jos ja vain) ovat vain vääriä, jos ensimmäinen ehdotus on totta ja toinen ehdotus väärä.

Esimerkki:

  • Jos Paulo on Carioca, hän on brasilialainen. - Jotta tämä ehdotus voitaisiin pitää TOSI, on tarpeen arvioida tapaukset, joissa se on mahdollista. Yllä olevan totuuden taulukon mukaan meillä on:
  1. Paulo on brasilialainen / Paulo on Brasilian = MAHDOLLINEN
  2. Paulo on carioca / Paulo ei ole brasilialainen = IMPOSSIBLE
  3. Paulo ei ole Carioca / Paulo on Brasilian = MAHDOLLINEN
  4. Paulo ei ole Carioca / Paulo ei ole Brasilian = MAHDOLLINEN

Biconditional

Kaksoistunnusta symboloi ↔. Se luetaan yhteyksien kautta, jos ja vain, jos ne yhdistävät yksinkertaiset ehdotukset vastaavuussuhteeseen. Esimerkki "John on onnellinen, jos ja vain jos Maria hymyilee." tulee "p q" ja totuustaulukko on:

Kaksoistilanne ehdottaa ajatusta keskinäisestä riippuvuudesta. Kuten nimi itsessään osoittaa, kaksoistilanne koostuu kahdesta ehtoollisuudesta: yksi, joka poikkeaa p: stä q: ään (p q) ja toinen vastakkaiseen suuntaan (q p).

Johtopäätös : Ehdot, jotka koostuvat kaksoissäätöisistä (jotka sisältävät yhteydet, jos ja vain jos ), ovat totta, kun kaikki ehdotukset ovat totta, tai kaikki ehdotukset ovat vääriä.

Esimerkki:

  • John on onnellinen, jos ja vain jos Maria hymyilee. - Se tarkoittaa, että:
  1. Jos John on onnellinen, Maria hymyilee ja jos Maria hymyilee, John on onnellinen = TRUE
  2. Jos João ei ole onnellinen, Maria ei hymyile ja jos Maria ei hymy, João ei ole onnellinen = TRUE
  3. Jos John on onnellinen, Mary ei hymyile = FALSE
  4. Jos John ei ole onnellinen, Maria hymyilee = FALSE

Yleiskatsaus

On totta, että totuustaulukon tutkijat muistavat jokaisen loogisen toiminnan päätelmät. Voit säästää aikaa ongelmanratkaisussa aina, että:

  1. Yhdenmukaiset ehdotukset: Ne ovat totta, kun kaikki elementit ovat totta.
  2. Disjunktiiviset ehdotukset: Ne ovat vain vääriä, kun kaikki elementit ovat vääriä.
  3. Ehdolliset ehdot: Ne ovat vain vääriä, kun ensimmäinen ehdotus on tosi ja toinen väärä.
  4. Bicondicional Propositions: Ne ovat totta, kun kaikki elementit ovat totta, tai kaikki elementit ovat vääriä.